MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.

MEMANGKATKAN SUATU BILANGAN DENGAN PI

MEMANGKATKAN SUATU BILANGAN DENGAN PI

.

Ivan Taniputera.

18 Januari 2016

.

Sebelum mengawali pembahasan ini, kita perlu membahas mengenai perpangkatan. Perpangkatan adalah proses perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri.

.

Sebagai contoh:

2^3 = 2x2x2

Perpangkatan juga bisa dilakukan dengan bilangan pecahan. Sebagai contoh:

2^(1/3) = Sqrt 3 (2)

atau akar tiga bagi 2.

Jadi 2^(2/3) = Sqrt 3 (2^2). Dengan kata lain akar pangkat tiga bagi dua kuadrat.

.

Secara umum, perpangkatan dengan suatu bilangan riil, dapat definisikan sebagai:

x^(a/b); dengan b tidak sama dengan 0.

.

Karena setiap bilangan riil dapat didefinisikan dengan a/b, dengan b tidak sama dengan 0.

.

Sebagai tambahan sebelum menjawab pertanyaan di atas, maka bagi perpangkatan berlaku aturan sebagai berikut:

X^a x X^b = X^(a+b).

Sebagai contoh:

5^3 x 5^5 = 5^(3+5)

5^3 x 5^5 = 5^8

.

Lalu bagaimana perpangkatan dengan bilangan transendental yang tidak dapat diwakili denga a/b? Contoh bilangan transendental adalah PI. Bilangan PI tidak dapat diwakili dengan a/b. PI mempunyai digit desimal yang acak dan tidak pernah berulang.

.

PI = 3.14159265359.............(tidak pernah berakhir)

.

Untuk perpangkatan dengan PI, kita dapat menguraikan PI sebagai berikut:

.

3,14159265359 = 3+(0,1)+(0,04)+(0,001)+(0,0005)+(0,00009)+..........

.

atau

.

3.14159265359 = 3+(1/10)+(4/100)+(1/1.000)+(5/10.000)+(9/100.000)+..................

.

X^PI = X^(3+(1/10)+(4/100)+(1/1.000)+(5/10.000)+(9/100.000)+..................)

Jadi berdasarkan aturan perpangkatan X^a x X^b = X^(a+b), maka berlaku:

X^PI = X^3 x X^(1/10) x X^(4/100) x X^(1/1.000) x X^(5/10.000) x X^(9/100.000)+..........)

.

Jadi X^PI tersusun dari perkalian X pangkat bilangan riil sebanyak tak terhingga. Karena kita tidak mungkin menghitung perkalian itu hingga tidak terhingga, maka biasanya kita berhenti hingga baris tertentu, sesuai dengan keperluan dan kehendak kita. Jadi, perpangkatan dengan bilangan PI biasanya merupakan aproksimasi saja.

.

Demikianlah pengertian perpangkatan dengan bilangan PI.