MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

MENGETAHUI APAKAH SUATU BILANGAN BERDIGIT BESAR MERUPAKAN KELIPATAN 7 TANPA MENGGUNAKAN PEMBAGIAN

Ivan Taniputera. 

26 September 2015

Apakah dapat kita membuktikan suatu bilangan merupakan kelipatan 7 tanpa pembagian, khususnya yang berdigit besar? Ya, jawabannya adalah dapat! Namun kita harus sudah mengetahui 12 bilangan asli pertama yang dapat dibagi dengan tujuh, yakni:

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan 96.

Agar jelasnya kita akan langsung mempraktikkannya dengan mengambil 649.349 sebagai contoh.

Pertama kurangkan 649.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 630.000.

649.349 

630.000 

----------- - 

  19.349

Kurangkan kembali 19.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 14.000.

19.349 

14.000 

 --------- - 

  5.349

Kurangkan kembali 5.349 dengan salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 4.900.

5.349 

4.900 

------- - 

   449

Kurangkan kembali 449 denga salah satu hasil perkalian 12 bilangan di atas dengan kelipatan 10 yang paling mendekati. Dalam contoh ini adalah 420.

449 

420 

----- - 

  29

Ternyata 29 bukan merupakan kelipatan 7. 

Jadi 649.349 bukan kelipatan 7.

Intinya kita mengurangkan terus hingga jumlahnya lebih kecil dari 96. 

Jika hasil akhirnya merupakan kelipatan tujuh, maka bilangan tersebut kelipatan 7. 

Silakan Anda coba dengan digit-digit lain yang lebih besar.

Secara matematis, kita dapat menuliskan metoda di atas sebagai berikut:

A - 7a - 7b - 7c - ........... = x

A adalah bilangan yang hendak kita cari apakah merupakan kelipatan tujuh atau bukan. 

7a, 7b, 7c, dan seterusnya, mewakili perkalian 12 bilangan asli pertama kelipatan tujuh dengan kelipatan 10. 

x adalah hasil akhir atau sisanya.

Jika x merupakan keliatan 7, maka kita dapat menuliskan x sebagai 7X (sebagai pembeda, maka saya pergunakan X dengan huruf besar).

Jadi: A - 7a - 7b - 7c -.......... = 7X

Kita pindahkan 7a, 7b, 7c, dan seterusnya ke ruas kanan.

A = 7X + 7a + 7b + 7c+ ...........

Lalu kita mengeluarkan angka 7

A = 7 (X + a + b + c + ....................)

Jadi terbukti bahwa A merupakan kelipatan 7

Namun jika x bukan kelipatan 7, setelah 7a, 7b, 7c, dan seterusnya dipindah ke ruas kanan, maka angka 7 tidak dapat dikeluarkan, sehingga jelas sekali bahwa A bukan kelipatan 7.

Mudah dan sederhana, bukan?

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL

MEMECAHKAN TEKA TEKI MATEMATIKA JADUL

Ivan Taniputera

15 Februari 2014

Saya menemukan teka-teki jadul berikut ini:

Dalam bahasa yang lebih modern, teka-teki di atas kurang lebih akan berbunyi sebagai berikut:

1.Kita diminta mengisikan angka 4 hingga 15 pada lingkaran-lingkaran kosong di gambar burung tersebut.
2.Jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
3.Angka pada lingkaran bertepi garis ganda adalah separuh angka pada lingkaran bertepi garis tebal.
4.Apabila angka pada lingkaran bertepi garis tebal dikalikan dengan angka pada lingkaran bertepi garis ganda, maka hasilnya sama dengan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran.

Anda boleh mencoba memecahkannya terlebih dahulu tanpa melihat pemecahannya di bawah ini.

ALUR PEMIKIRAN

Jika angka-angka yang diisikan pada lingkaran-lingkaran di atas, merupakan anggota himpunan B, maka B={x| 4<=x<=15, xE bilangan bulat} atau B={4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.

Kita misalkan angka pada lingkaran bertepi garis tebal = X dan angka pada lingkaran bertepi garis ganda = Y. Berdasarkan empat ketentuan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa X pasti adalah bilangan genap. Karena jika bukan bilangan genap, maka Y tidak mungkin menjadi separuh X.

Berlaku X = 2Y

Pada deretan angka 4 hingga 15, maka bilangan genap adalah 4, 6, 8, 10, 12, dan 14. Angka 4 dan 6 dapat kita keluarkan, karena separuh dari 4 adalah 2 dan separuh dari 6 adalah 3. Angka 2 dan 3 berada di luar deretan angka yang boleh diisikan. Dengan kata lain 2 dan 3 bukanlah elemen himpunan B.

Informasi berikutnya yang kita dapatkan adalah jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran adalah bilangan genap dan merupakan kelipatan empat, karena merupakan empat kali angka pada lingkaran bertepi garis tebal (X). Jadi jumlah angka pada setiap deretan 3 lingkaran adalah 4X.

Misalkan jumlah angka pada setiap deretan tiga lingkaran kita misalkan = Z

Z = 4X = 4(2Y) = 8Y

Dengan X,Y,Z adalah anggota himpunan B.

Z secara spesifik adalah bilangan kelipatan delapan.

Jumlah deretan tiga angka terkecil adalah 15, yakni berasal jumlah tiga anggota terkecil himpunan B = 4+5+6.
Jumlah deretan tiga angka terbesar adalah 42, yakni berasal dari jumlah tiga anggkota terbesar himpunan B = 13+14+15

Jadi Z berkisar antara 15 dan 42. Kita mencari bilangan kelipatan 8 antara 15 dan 42, yakni 16, 24, dan 32. Perhatikan bahwa jika Z = 16, maka Y=2. Ini tidak mungkin, karena 2 bukan anggota himpunan B.
Perhatikan bahwa jika Z = 24, maka Y=3. Ini tidak mungkin, karena 3 bukan anggota himpunan B.

Jadi yang mungkin adalah 32.

Z=32, X=8, dan Y=4.

Dengan demikian kita telah menentukan lokasi angka 4 dan 8 secara pasti.

Langkah selanjutnya bersifat coba-coba dan merupakan seni, yakni dengan mencoba mengisikan angka-angka lainnya. Namun kita perlu pertimbangkan sebagai berikut. Di sebelah angka 8, minimal adalah angka 9, karena jika kita mengisikan pada lingkaran satunya dengan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran satunya harus berisikan 9. Jika kita mengisikan 8, maka lingkaran satunya harus diisi dengan 16 agar jumlahnya menjadi 32. Padahal 16 bukan anggota himpunan B.

Angka disamping 4 minimal adalah 13, karena jika kita mengisikan angka terbesar yang mungkin (15), maka lingkaran pada tepi satunya lagi harus diisi 13., jadi kemungkinannya tinggal 13, 14, 15.

Berikut ini adalah jawabannya.

Perhatikan bahwa letak angka 7 dan 11 dapat ditukar.

11+4+7 = 7+4+11