MENERAPKAN PENGURANGAN UNTUK MENGHASILKAN SUATU DERET MIRIP FIBONACCI

MENERAPKAN PENGURANGAN UNTUK MENGHASILKAN SUATU DERET MIRIP FIBONACCI

APPLYING SUBRACTION TO GENERATING A SEQUENCE RESEMBLE TO FIBONACCI SEQUENCE

.  

Ivan Taniputera.

16 Oktober 2022

.

Kita semua tentu telah mengenal Deret Fibonacci. Untuk menghasilkan deret ini dipergunakan operasi penjumlahan. Meskipun demikian, bagaimana kalau kita menggunakan operasi pengurangan sebagai ganti penjumlahan? Berikut ini adalah hasilnya.

.

We are all familiar with the Fibonacci Sequence. To produce this series, the addition operation is used. However, how about we use the operation of subtraction instead of addition? Here is the result.

.

0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1,  -1, 0, 1, 1, 0, -1,......

.

Dalam hal ini, suatu suku akan dikurangkan dengan suku sebelumnya, guna menghasilkan suku berikutnya. Sebagai dua suku paling awal, kita akan menggunakan 0 dan 1. 

Jadi hasilnya adalah 0, 1, 1, 0, -1, -1, dan selanjutnya kembali ke awal lagi.  Demikian seterusnya. 

.

In this case, a term will be subtracted from the previous term, to produce the next term. As the first two terms, we will use 0 and 1.  

.

So the result is 0, 1, 1, 0, -1, -1, and then back to the beginning again. And so on.

.

Tetapi kalau kita balik prosesnya, yakni suku sebelumnya dikurangkan dengan suku sebelumnya, akan dihasilkan deret yang berbeda.

.

0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34,.......

.

Hasilnya akan berganti-ganti antara bilangan positif dan negatif.  Hasil yang berbeda ini dikarenakan dalam pengurangan tidak dikenal sifat komutatif atau pertukaran. 

.

But if we reverse the process, i.e. the previous term is subtracted from the next term, we will produce a different series. 

. 

0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34,....... 

.  

The result will alternate between positive and negative numbers. This different result is because in subtraction does not apply commutative property.

JAWABAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI GAJI DUA ORANG

JAWABAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI GAJI DUA ORANG.

.

Ivan Taniputera.

19 Desember 2021

.

SOAL:

Saya mendapatkan soal sebagai berikut melalui media sosial:

.

A dan B bekerja di perusahaan yang sama. 

Gaji A Rp. 1.500 lebih tinggi dibandingkan gaji B.

Jika untuk mendapatkan gaji Rp. 781.750, B harus bekerja 6 hari lebih lama dibandingkan A, berapa gaji B?

.

.

JAWABAN:

.

Saya akan mecoba menjawab soal ini sebagai berikut. Kita susun terlebih dahulu kalimat matematikanya.  

.

A = B + 1.500.

Ax = B(x+6).

781.750 = B(x+6).

.

Dengan : A = gaji A. B = gaji B, dan x = hari kerja. 

,

Ax = B(x+6)

(B+1.500)x = B(x+6)

Bx +1.500x = Bx + 6B.

1.500 x = 6B ====== Ini merupakan persamaan pertama.

.

781.750 = Bx + 6B.

781.750 - 6B = Bx

x = (781.750 - 6B)/B ======== Ini merupakan persamaan kedua.

.

Persamaan kedua disubstitusikan ke persamaan pertama.

.

1500 (781.750-6B)/B = 6B.

1172625000 - 9000B = 6B^2.

6B^2 + 9000B - 1172625000 = 0. Kita dapatkan sebuah persamaan kuadrat.

.

Gunakan online solver untuk rumus abc dengan:

.

a=6

b=9000

c=-1172625000.

.

.

Diperoleh jawaban: 

.

B1 = 13.250.

B2 = -14.750 (ini tidak mungkin, karena gaji tidak mungkin negatif).

.

Dengan demikian, gaji B adalah Rp. 13.250,-

Sementara itu, gaji A adalah Rp. 14.750,-.

.

Kita akan menguji apakah jawaban di atas benar atau tidak. 

Hari kerja A agar mendapatkan gaji Rp. 781.750 adalah:

.

x = 781.750:14.750.

x =  53.

.

Jadi hari kerja A untuk mendapatkan gaji Rp. 781.750 atalah 53 hari. 

Dengan demikian, untuk mendapatkan gaji Rp. 781.750, B harus bekerja 59 hari.

.

59 x 13.250 = 781.750.

.

Dengan demikian, jawaban itu sudah benar.

SOAL MATEMATIKA: PERSAMAAN LINGKARAN MENYINGGUNG GRAFIK Y = 1/X

SOAL MATEMATIKA: PERSAMAAN LINGKARAN MENYINGGUNG GRAFIK Y = 1/X

.

Ivan Taniputera.

10 Agustus 2021

.

Soal: 

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung grafik y = 1/x dan sumbu x beserta sumbu y, pada daerah x > 0 serta y > 0.

.

JAWABAN:

.

Untuk menjawab soal di atas, kita akan membuat terlebih dahulu sketsa sebagai berikut.

.

 

. 

Selanjutnya, kita perlu menentukan titik potong antara lingkaran dengan grafik y = 1/x. Kita akan menarik garis bantu y = x, seperti gambar di bawah ini.

.

.

Nampak bahwa titik singgung antara lingkaran dengan grafik y = 1/x adalah juga titik potong antara garis y = x dengan grafik y = 1/x. Kita dapat mencari titik potong tersebut dengan cara sebagai berikut.

.

x = 1/x

x^2 = 1

x = 1.

Substitusikan nilai x = 1 pada y = 1/x.

y = 1/1.

y = 1.

Dengan demikian, koordinat titik potong atau titik singgung itu adalah (1.1).

.

Setelah menemukan koordinat titik singgung antara lingkaran dengan grafik y = 1/x, kita akan melanjutkan dengan sketsa sebagai berikut.

.

.

Kita misalkan bahwa koodinat titik pusat lingkaran itu adalah (x,y). Jari-jari lingkaran adalah r. Berdasarkan sketsa di atas, kita mengetahui bahwa x = y = r.

.

Nilai r adalah jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik singgung (1,1). Dengan menggunakan rumus jarak dua titik yang diketahui koordinatnya kita dapat menghitung sebagai berikut:

.

(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2.

Karena x = y = r, maka

(r-1)^2 + (r-1)^2 = r^2.

2(r-1)^2 = r^2.

2(r^2-2r+1) = r^2.

2r^2-4r+1 = r^2.

r^2-4r+1 = 0.

.

Kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat. Nilai r dapat dicari dengan Rumus ABC.

.

Ternyata kita mendapatkan dua nilai r, yakni:

.

r1 = 0,5858.

r2 = 3,4142.

.

Ini berarti bahwa terdapat dua persamaan lingkaran yang memenuhi ketentuan di atas. Kita akan memasukkannya pada persamaan lingkaran berpusat (a,b); yakni (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

.

Jika r1 = 0,5858, maka karena x = y = r, x = 0,5858 dan y = 0,5858. Koordinat titik pusatnya adalah (0,5858, 0,5858). Jika kita terapkan dalam persamaan lingkatan berpusat (a,b), maka a = 0,5858 dan b-0,5858. Kita dapatkan persamaan lingkaran sebagai berikut:

.

(x-0,5858)^+(y-0,5858)^2 = (0,5858)^2.

(x-0,5858)^2+(y-0,5858)^2 = 0,3431.

.

Jika r2 = 3,4142, maka karena x = y = r, x = 3,4142 dan y = 3,4142. Koordinat titik pusatnya adalah (3,4142, 3,4142). Jika kita terapkan dalam persamaan lingkatan berpusat (a,b), maka a = 3,4142 dan b-3,4142. Kita dapatkan persamaan lingkaran sebagai berikut:

.

(x-3,4142)^+(y-3,4142)^2 = (3,4142)^2.

(x-3,4142)^2+(y-3,4142)^2 = 11,6568.

.

Kita akan menggambar kedua lingkaran dengan menggunakan piranti lunak daring DESMOS. Berikut ini adalah hasilnya.

.

 

 

MEMECAHKAN ANGKA KODE GEMBOK DENGAN BERPIKIR SISTEMATIS

MEMECAHKAN ANGKA KODE GEMBOK DENGAN BERPIKIR SISTEMATIS.

.

Ivan Taniputera.

20 Juli 2017.

.

Saya menemukan teka-teki sebagai berikut.

.

.

Teka-teki itu berbunyi sebagai berikut.

Terdapat kode untuk membuka gembok yang terdiri dari tiga angka. Kemudian diberikan penjelasan sebagai berikut.

1. 8 1 5 : Satu angka benar, posisi salah. - Ini akan kita sebut Keterangan I (KI)
2. 6 4 3 : Tidak ada yang benar. - Ini akan kita sebut Keterangan II (KII)
3. 8 0 4 : Satu angka benar, posisi benar. - Ini akan kita sebut Keterangan III (KIII)
4. 3 6 2 : Satu angka benar, posisi salah. - Ini akan kita sebut Keterangan IV (KIV)
5. 8 2 0 : Dua angka benar posisi salah. - Ini akan kita sebut Keterangan V (KV)

.

Sebagai catatan, dalam kode tiga angka itu; agar mudah angka paling kiri akan kita sebut angka pertama, angka tengah kita sebut angka kedua, dan angka paling kanan kita sebut angka ketiga.

Kita akan langsung menuju ke KII terlebih dahulu. Berarti kode itu tidak terdapat angka 6, 4, dan 3. Seluruh angka 6, 4, dan 3 dapat kita coret.

.

Kita kini akan langsung menuju pada KIV, dimana 3 dan 6 sudah tercoret, sehingga tinggal angka 2. Jadi kode itu pasti terdapat angka 2, karena KIV berbunyi 1 angka benar posisi salah. Jadi, kemungkinannya angka 2 terletak di posisi pertama atau kedua. Tidak mungkin pada posisi ketiga, karena KIV sudah menyatakan “posisi salah.” Jadi bukan di posisi ketiga.

.

Kini dengan berbekalkan kesimpulan bahwa angka 2 mungkin pada posisi pertama atau kedua, kita menuju pada KV, perhatikan keterangan bahwa “dua angka benar, posisi salah.” Angka 2 sudah pasti benar, tetapi di KV ia terletak di posisi kedua. Karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa posisi ini salah. Jadi dapat disimpulkan bahwa angka 2 pasti terletak di posisi pertama.

.

Kini kita akan menuju pada KIII, terdapat keterangan “satu angka benar posisi benar.” Berdasarkan kesimpulan sebelumnya telah diperoleh bahwa angka 2 pasti di posisi pertama. Ternyata pada KIII posisi pertama diduduki oleh 8. Jadi angka 8 ini pasti bukan angka yang benar. Tinggal tersisa angka 0 di posisi kedua. Jadi kesimpulannya, posisi kedua diduduki oleh angka 0.

.

Selanjutnya kita akan menuju pada KI, yang menyebutkan bahwa “satu angka benar posisi salah.” Angka 8 sudah tereliminasi. Tinggal angka 1 dan 5 dan berdasarkan kesimpulan sebelumnya, posisi pertama dan kedua sudah kita ketahui dan tinggal posisi ketiga. Jika angka 5 benar, maka posisinya juga benar, dimana ini bertentangan dengan KI. Oleh karenanya, angka kode ketiga adalah 1, dimana posisinya di bagian kedua memang salah. Posisinya yang benar adalah sebagai angka ketiga.

.

Jadi jawabannya adala 201.

MENYELESAIKAN SOAL GRAFIK FUNGSI KUADRAT

MENYELESAIKAN SOAL GRAFIK FUNGSI KUADRAT.

.

Ivan Taniputera

08 Oktober 2019

.

1. Gambarlah grafik-grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

.

a. y=½x²

.

Ini merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik lembahnya. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat ini, kita akan membuat tabel sebagai berikut.

.

 

.

Dengan demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, 4,5), (-2, 2), (-1, 0,5), (0,0), (1, 0,5), (2,2), dan (3, 4,5). Kita dapat menggambarkannya sebagai berikut:

.

.

b.y=-½x²

.

Ini merupakan persamaan kuadrat yang mempunyai sumbu y sebagai sumbu simetrinya dan titik (0,0) sebagai titik puncaknya. Caranya sama dengan 1.a. Kita buat tabel sebagai berikut:

.

 ,

Dengan demikian grafik fungsi kuadrat itu melalui titik-titik (-3, -4,5), (-2, -2), (-1, -0,5), (0,0), (1, -0,5), (2,-2), dan (3, -4,5). Kita dapat menggambarkannya sebagai berikut:

.

 

.
c. y=x²+3x+2.

 

Untuk menggambar grafik persamaan kuadrat ini, kita faktorkan terlebih dahulu menjadi (x+1)(x+2).

Kita cari terlebih dahulu titik potongnya dengan sumbu x, yakni bila y = 0. Hal ini akan dipenuhi bagi nilai x: x1 = -1 dan x2 = -2. Dengan demikian, titik-titik potongnya terhadap sumbu x adalah (-1, 0) dan (-2, 0). Titik potong dengan sumbu y bila x = 0, sehingga y = 2. Dengan demikian, titik potongnya terhadap sumbu y adalah (0, 2).

.

Rumus koordinat titik puncak bagi persamaan kuadrat adalah:

xp = -b/2a.

Dalam hal ini, a = 1 dan b = 3.

Jadi, xp = -1,5.

Substitusikan nilai ini ke persamaan kuadrat.

yp = (-1,5)^2 + 3.(-1,5) + 2.

yp = 2,25 - 4,5 + 2

yp = -0,25.

.

Jadi titik puncaknya adalah (-1,5, -0,25).

.

Itulah sebabnya, grafik persamaan kuadrat ini akan melalui titik-titik (-1,0), (-2.0), (0,2), dan (-1,5, -0,25). Kita sudah dapat menggambarkannya sebagai berikut.

.

.

Bantuan pengerjaan soal matematika dan fisika berbayar, hubungi: https://www.facebook.com/ivan.taniputera

.

 

KEISTIMEWAAN FUNGSI f(x) = 2^cos(x^sin(x))

KEISTIMEWAAN FUNGSI f(x) = 2^cos(x^sin(x))

.

Ivan Taniputera.

20 Mei 2019.

.

Pada kesempatan kali ini, kita akan mengulas mengenai fungsi f(x) = 2^cos(x^sin(x)). Berikut ini adalah gambar grafiknya.

.

.

.

Nampak, bahwa fungsi ini rangkaian puncak dan lembah setelah selang tertentu. Jumlah puncaknya selalu genap, sedangkan jumlah lembahnya selalu ganjil.

.

Kita dapat merumuskan bentuk umum fungsi ini sebagai f(x) = k^cos(x^sin(x)), dengan k adalah sebuah konstanta. Semakin besar nilai k, maka semakin besar pula amplitudonya.

TENTANG PENTAGRAM

TENTANG PENTAGRAM.

.

Ivan Taniputera.

3 September 2019.

.

 

.

Pada kesempatan kali ini, saya akan sedikit menulis mengenai Pentagram. Simbol ini sering disalah pahami dan dihubungkan dengan hal-hal negatif. Padahal sesungguhnya Pentagram ini merupakan lambang perlindungan atau proteksi terhadap kekuatan-kekuatan jahat yang tidak kasat mata.

.

Pentagram juga dikenal pada kebudayaan Timur dan Barat. Di kebudayaan Timur (dalam hal ini China), Pentagram dikaitkan dengan lima elemen (五行, Wuxing); yakni Kayu, Api, Tanah, Logam, dan Air.

.

 

.

Di dunia Barat, Pentagram melambangkan Jiwa (Spirit) dan keempat elemen penyusun alam semesta, yakni Air, Api, Tanah, serta Udara.

.

 

.

Karena terdapat di Kebudayaan Barat dan Timur, maka Pentagram ini mewakili suatu prinsip yang universal.

.

Jika Anda condong pada metafisika Barat, maka Anda boleh membuat liontin yang bergambar Pentagram atau boleh juga menempatkan gambar Pentagram di berbagai sudut rumah Anda.

.

Kini kita akan membahas keistimewaan Pentagram ditinjau dari cabang ilmu matematika yang disebut geometri.

.

Berikut ini adalah besar sudut-sudut pada Pentagram.

.

 

.

Nampak bahwa besar sudut-sudutnya adalah 36 derajat, 72 derajat, dan 108 derajat. Jika kita jumlahkan digit-digit angkanya, maka jumlahnya pasti 9. Perhatikan: 3 + 6 = 9; 7 + 2 = 9; 1 + 0 + 8 = 9. Dengan demikian, Pentagram nampaknya membawa pula getaran angka 9 yang kuat. Hal ini melambangkan pencarian pengetahuan spiritual yang lebih tinggi dan mendalam.

.

Selanjutnya, perhatikan bahwa Pentagram dapat dibentuk dari segilima beraturan (Pentagon), dimana Pentagram sesungguhnya adalah diagonal-diagonal Pentagon.

.

 

.

Nampak bahwa garis-garis Pentagram membentuk kembali Pentagon di dalamnya hanya saja kedudukannya terbalik. Kita dapat meneruskan proses tersebut hingga tak terhitung. Selalu saja terbentuk Pentagon-Pentagon yang terbalik dengan sebelumnya. Luas Pentagon yang besar adalah sekitar 5,331 x luas Pentagon yang kecil. Dengan demikian, luas Pentagon yang kecil adalah kurang lebih 1/5 Pentagon yang besar.

.

 

.

Kita boleh mengartikan bahwa gambar di atas mewakili filosofi bahwa di dalam Yang terdapat Yin; di dalam Yin kembali terdapat Yang; di dalam Yang terdapat Yin; dan demikian seterusnya tanpa akhir.

.

Kita sudah sedikit berkenalan dengan Pentagram. Kini kita tidak perlu takut lagi terhadap Pentagram, karena ternyata simbol tersebut memiliki makna filosofis yang mendalam.

.

Artikel menarik lainnya mengenai ramalan, Astrologi, Fengshui, Bazi, Ziweidoushu, dan lain-lain silakan kunjungi: https://www.facebook.com/groups/339499392807581/ . . . . . . . . . . . . . 

.

 

. PERHATIAN: Sebagai tambahan, saya tidak memberikan analisa atau konsultasi gratis. Saya sering menerima email atau message yang meminta analisa gratis. Ini adalah sesuatu yang sia-sia dan juga sangat mengganggu saya. Jika ingin berkonsultasi atau saya analisa, maka itu berbayar. Oleh karenanya, jika Anda ingin analisa atau konsultasi gratis maka mohon agar tidak menghubungi saya. Demikian harap maklum.

PENGERTIAN SATUAN

PENGERTIAN SATUAN

Ivan Taniputera

28 Maret 2018

.

Saya iseng-iseng bertanya pada beberapa siswa. Jika di soal terdapat pernyataan panjang = 2 m, luas = 10 m2, volume = 150 dm3. Apakah maksud semua itu? Sebagian besar masih bingung menjawab. Mungkin mereka belum paham dengan apa yang dimaksud satuan. Semua besaran dalam fisika, baik itu pokok maupun turunan memiliki apa yang disebut satuan. 

.

Lalu apakah satuan itu? Tidak banyak yang dapat menjawabnya. Saya kemudian menjelaskannya dari yang termudah dahulu, yaitu panjang. Sesuai dengan namanya, yakni "satuan," maka artinya adalah suatu patokan pengukuran yang dianggap memiliki nilai satu. Taruhlah kita mempunyai seutas benang dan kita ingin mengetahui panjangnya. Tentu kita tidak serta merta dapat mengetahuinya. Kita perlu membandingkannya dengan suatu pedoman atau patokan tertentu. Di zaman dahulu, orang menggunakan anggota tubuh sebagai patokan; misalnya adalah panjang telapak tangan kita. Panjang telapak tangan itu kita sebut "satu" telapak. Lalu kita bandingkan panjang telapak tangan dengan panjang benang yang kita miliki. Caranya kita luruskan dan tempelkan benang itu pada telapak tangan kita. Ternyata benang itu masih ada sisanya. Kita geser dan tempelkan lagi bagian berikutnya. Demikian sampai benang itu habis. Ternyata panjang benang itu sesuai dengan tiga kali panjang telapak tangan kita. Karenanya, kita boleh menyebut panjang benang itu sebagai "tiga telapak tangan." Telapak tangan itulah yang disebut "satuan." Kalau kita balik pengertiannya, panjang benang tiga telapak tangan, artinya adalah panjang benang itu sanggup menampung panjang tiga telapak tangan kita. 

.
Di masa belakangan, pengukuran berdasarkan anggota tubuh itu tidak dapat lagi dilakukan karena ukuran tubuh tiap orang berbeda-beda. Singkat cerita, akhirnya orang menemukan satuan yang berlaku universal atau dapat diterima lebih banyak orang. Dikenal apa yang disebut sebagai sistim metrik; misalnya meter, desimeter, centimeter, dan lain sebagainya.

.
Jadi, panjang dua meter artinya panjang tersebut dapat menampung dua buah satuan meter atau setara dengan dua buah satuan berupa meter. Meter itulah yang disebut satuan panjang.

.
Lalu bagaimana dengan luas? Luas juga sama. Pertama-tama, juga perlu ditentukan apa itu satuan luas. Satuan luas adalah ukuran luas yang bernilai satu. Gambarannya adalah sebuah persegi yang sisi-sisinya masing-masing sebesar satu satuan panjang. Bukanlah sebuah persegi itu luasnya akan menjadi satu satuan luas karena luasnya adalah sisi dikali sisi? Kemudian kita bandingkan ada berapa banyak persegi semacam itu yang dapat ditampung oleh sebuah bidang. Jadi, jika sebuah bidang dapat menampung 10 buah persegi semacam itu, maka luasnya adalah 10 satuan luas.Satuan luas di sini contohnya banyak ada km2, hm2, dam2, m2, dm2, cm2, mm2 dan lain sebagainya. Jadi, luas 10 m2 artinya bidang tersebut dapat menampung 10 buah persegi dengan luas satu satuan luas; dalam hal ini adalah meter persegi (m2).

.
Berikutnya, kita dapat menjelaskan mengenai volume dengan cara yang sama. Kita bayangkan satuan volume berupa kubus yang masing-masing rusuknya sebesar satu satuan luas. Tentu saja volumenya akan menjadi satu satuan luas pangkat 3 (kubik). Jadi, jika kita sebut volumenya adalah 150 dm3, artinya bangun ruang tersebut dapat menampung 150 kubus dengan volume 1 dm3. 

.
Demikian, saya menjelaskan mengenai konsep satuan panjang, luas, dan volume. (Ivan Taniputera 28 Maret 2018)

TENTANG a^n + b^n = c^n

TENTANG a^n + b^n = c^n

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2018.

.

Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.

.

Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.

dengan k adalah 1, 2, 3, ...........

.

Kini kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common factor).

.

Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.

Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.

3 ^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25.

.

Tigaan Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3, 4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:

.

6, 8, dan 10.

.

Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.

.

6^2 + 8^2 = 10^2.

36 + 64 = 100.

.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:

.

p.a^2 + p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan terpenuhi.

.

Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).

a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k

.

Pada persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2 dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka: .

.

a^k = b^k = c^k

.

Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan a^n + b^n = c^n untuk n >2.

APAKAH TERDAPAT BAYANGAN BERUPA WUJUD TIGA DIMENSI? MARI PERLUAS WAWASAN ANDA MENUJU DIMENSI YANG LEBIH TINGGI

APAKAH TERDAPAT BAYANGAN BERUPA WUJUD TIGA DIMENSI? MARI PERLUAS WAWASAN ANDA MENUJU DIMENSI YANG LEBIH TINGGI

.

Ivan Taniputera.

1 Juli 2018

.

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas topik yang agak berat. Umumnya, setiap orang akan menyatakan bahwa bayangan (shadow) itu bersifat dua dimensi. Agar jelas, sebelumnya perlu dijelaskan bahwa yang dimaksud bayangan di sini adalah citra yang terbentuk karena terdapat penghalang dengan cahaya. Sebagai contoh adalah bayangan pohon di sebuah tembok atau dinding. Cahaya matahari terhalang pohon dan membentuk bayangan pohon tersebut di tembok atau dinding. Bayangan tersebut akan bersifat dua dimensi. Lalu adakah bayangan yang berupa tiga dimensi?

.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut silakan pahami terlebih dahulu hal-hal sebagai berikut.

.

Sebuah obyek berdimensi 0 (yakni sebuah titik) tidak mengenal konsep atas-bawah; depan-belakang, dan kiri-kanan.

Sebuah obyek berdimensi 1 (yakni sebuah garis) tidak mengenal konsep atas-bawah dan depan-belakang.

Sebuah obyek berdimensi 2 (yakni sebuah bidang datar) tidak mengenal konsep atas dan bawah. Ia hanya mengenal sumbu x dan y saja.

Sebuah obyek berdimensi 3 (yakni sebuah bangun ruang) mengenal konsep atas-bawah; depan-belakang, dan kiri-kanan. Kita hidup dalam alam yang berdimensi tiga.

.

Misalkan terdapat makhluk yang hidup pada suatu dimensi, maka ia tidak akan memahami konsep sebagaimana hanya dikenal di dimensi lebih tinggi. Kita ambil contoh makhluk berdimensi dua (jika ada) tidak akan sanggup memahami konsep atas dan bawah. Bagi mereka ruang hidup mereka hanyalah kiri-kanan dan depan-belakang saja. Kita tidak akan sanggup menjelaskan konsep atas-bawah beserta segenap pemahaman mengenai ruang berdimensi tiga sebagaimana yang kita amati sebagai realita sehari-hari pada makhluk berdimensi dua. Mereka akan menganggap bahwa konsep atas-bawah itu tidak ada dan bahkan mungkin akan mulai mencerca kita sebagai penipu.

.

Begitu pula kita tidak akan sanggup membayangkan konsep-konsep yang berada di tataran dimensi lebih tinggi.

.

Kita akan kembali pada topik kita mengenai bayangan. Marilah kita bayangkan cahaya yang menyinari sebuah ruas garis (dimensi 1). Jika kita menyinarkan cahaya pada salah satu ujung, maka di sini lain akan terbentuk bayangan berupa sebuah titik. Bila kita berganti menyinarkan cahaya pada ujung satunya lagi, maka pada sisi lawannya terbentuk pula bayangan berupa sebuah titik. Makhluk berdimensi 0 akan memandangnya sebagai dua buah titik karena mereka tidak memahami konsep mengenai garis. Mereka tidak akan menyadari bahwa dua buah titik berbeda itu sesungguhnya merupakan bagian sebuah ruas garis yang sama.

.

Kita beralih pada dimensi 2. Kita ambil sebuah persegi sebagai contoh. Jika kita menyinarkan cahaya pada sisi-sisinya, maka pada penjuru lawannya akan terbentuk bayangan berupa garis yang berdimensi 1. Dengan demikian terdapat empat kemungkinan bayangan berupa garis. Jika terdapat makhluk yang hidup pada dimensi 1, mereka juga akan mengalami kesulitan dalam membayangkan bahwa keempat bayangan berupa garis yang nampak berbeda bagi mereka itu, sesungguhnya terbentuk dari sebuah persegi saja. Para makhluk yang hidup di tataran dimensi 1 tidak akan sanggup membayangkan mengenai persegi dan bangun datar dalam bentuk apa pun.

.

Kita akan naik pada dimensi 3. Kita ambil sebuah kubus sebagai contoh. Sebuah kubus mempunyai enam sisi. Jika kita menyinarkan cahaya pada masing-masing sisi, maka pada setiap penjuru lawannya akan terbentuk bayangan berupa persegi. Jadi, terdapat enam kemungkinan bayangan berupa persegi. Bila terdapat makhluk yang hidup di dimensi 2, mereka juga akan sulit membayangkan bahwa keenam persegi tersebut sesungguhnya merupakan bayangan sebuah kubus saja. Tidak ada satu pun bayangan itu yang eksis atau hadir terpisah dari kubus.

.

Logika ini dapat pula kita terapkan pada dimensi yang lebih tinggi. Tentu saja karena keterbatasan kita yang hidup di ranah dimensi 3, mustahil bagi kita membayangkan dimensi 4. Namun karena benda berdimensi 1 akan menghasilkan bayangan berdimensi 0; benda berdimensi 2 akan menghasilkan bayangan berdimensi 1; dan bayangan berdimensi 3 akan menghasilkan bayangan berdimensi 2; tidakkah sesuatu yang berdimensi 4 akan menghasilkan bayangan berdimensi 3? Hal ini dapat kita terapkan lebih lanjut pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi.

.

Kita juga mungkin akan mengalami kesulitan dalam membayangkan bahwa bayangan-bayangan berupa obyek tiga dimensi itu sesungguhnya terbentuk dari sebuah obyek berdimensi 4 saja.

Untuk jelasnya silakan perhatikan gambar di bawah ini.

.

 

.

Kita barangkali dapat memperluas hal ini pada ranah fenomena hantu. Banyak orang menyatakan pernah menyaksikan sosok-sosok bayangan hitam. Apakah sosok-sosok itu sesungguhnya merupakan bayangan dari sesuatu yang berdimensi lebih tinggi?

.

Terlepas dari semua itu, pelajaran yang dapat kita ambil adalah agar kita senantiasa memperluas wawasan pemahamahan kita. Semakin tinggi wawasan pemahaman kita, semakin banyak hal pula akan kita pahami.

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR

BERBAGAI PERSAMAAN KURVA POLAR.

.

Ivan Taniputera.

9 November 2017.

.

1. CISOID

.

Persamaan cisoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - cos(a)

r(a) = sec(a) - cos(a)

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

.

2.STROFOID

.

Persamaannya strofoid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 1/cos(a) - kcos(a)

r(a) = sec(a) - kcos(a).

.

Dengan k > 1.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut.

.

3. KARDIOID

.

Persamaan kardioid adalah sebagai berikut:

.

r(a) = 2pcos(a)+2q

Dengan p dan q adalah konstanta.

.

Gambarnya adalah sebagai berikut:

.

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30

MEMECAHKAN TEKA-TEKI MATEMATIKA ANGKA BOLA BILIAR BERJUMLAH 30.

.

Ivan Taniputera.

15 Agustus 2017.

.

Saya baru saja mendapatkan teka teki matematika sebagai berikut.

.

.

Teka-teki tersebut jika dituangkan dengan kata-kata kurang lebih bunyinya adalah sebagai berikut. Kita diberikan delapan bola biliar masing-masing berangka: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan 15. Selanjutnya, kita diminta memilih tiga bola yang yang angkanya berjumlah 30.

.

Jika kita menggunakan cara berpikir konvensional, tentu tidak akan ketemu. Beberapa orang, mungkin akan mencoba solusi sebagai berikut.

1. Misalkan salah satu bola adalah 15; maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 15. Jadi, misalkan bola yang satu adalah 13, maka satunya harus berangka 2, yang ternyata tidak ada. Misalkan satunya bola berangka 11, maka satunya harus berangka 14, yang ternyata juga tidak ada. Misalkan bola yang satu berangka 9, maka bola satunya harus berjumlah 6; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 7, maka bola satunya harus berangka 8; yang ternyata juga tidak ada. Jika bola yang satu berangka 5, maka bola satunya lagi harus berangka 10, yang ternyata juga tidak ada. Selanjutnya, bila bola yang satu berangka 3, maka yang satunya lagi harus berangka 12; yang ternyata juga tidak ada. Apabila bola yang satu berangka 1, maka satunya lagi harus berangka 14; yang ternyata tidak ada. Kesimpulannya, bola berangka 15 sudah pasti bukan jawabannya.
2. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 13. Apabila salah satu bola berangka 13, maka kedua bola lainnya harus mempunyai angka yang dapat dijumlahkan menjadi 17. Bila salah satu 15, maka satunya harus 2 (tidak ada). Kita dapat merumuskan kemungkinannya sebagai berikut.

11-6 (tidak ada)

9-8 (tidak ada)

7-10 (tidak ada)

5-12 (tidak ada)

3-14 (tidak ada)

1-16 (tidak ada).

.

3. Kita dapat melanjutkan dengan bola berangka 11 dan seterusnya.

Ternyata kita tidak menemukan angka-angka yang sesuai.

Biasanya orang akan kebingungan. Lalu apakah jawabannya?

Seperti yang telah diungkapkan di atas, bila kita menerapkan cara berpikir konvensional, maka jawabannya tidak akan kita temukan.

Jawabannya sangat sederhana. BALIKLAH BOLA BERANGKA 9, SEHINGGA ANDA MENDAPATKAN BOLA BERANGKA 6. Jadi bola yang berangka 9 itu seharusnya berangka 6.

.

Dengan demikian, jawabannya adalah bola berangka 6, 11, dan 13. Untuk jelasnya silakan amati gambar sebagai berikut.

.