MENERAPKAN PENGURANGAN UNTUK MENGHASILKAN SUATU DERET MIRIP FIBONACCI

MENERAPKAN PENGURANGAN UNTUK MENGHASILKAN SUATU DERET MIRIP FIBONACCI

APPLYING SUBRACTION TO GENERATING A SEQUENCE RESEMBLE TO FIBONACCI SEQUENCE

.  

Ivan Taniputera.

16 Oktober 2022

.

Kita semua tentu telah mengenal Deret Fibonacci. Untuk menghasilkan deret ini dipergunakan operasi penjumlahan. Meskipun demikian, bagaimana kalau kita menggunakan operasi pengurangan sebagai ganti penjumlahan? Berikut ini adalah hasilnya.

.

We are all familiar with the Fibonacci Sequence. To produce this series, the addition operation is used. However, how about we use the operation of subtraction instead of addition? Here is the result.

.

0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1,  -1, 0, 1, 1, 0, -1,......

.

Dalam hal ini, suatu suku akan dikurangkan dengan suku sebelumnya, guna menghasilkan suku berikutnya. Sebagai dua suku paling awal, kita akan menggunakan 0 dan 1. 

Jadi hasilnya adalah 0, 1, 1, 0, -1, -1, dan selanjutnya kembali ke awal lagi.  Demikian seterusnya. 

.

In this case, a term will be subtracted from the previous term, to produce the next term. As the first two terms, we will use 0 and 1.  

.

So the result is 0, 1, 1, 0, -1, -1, and then back to the beginning again. And so on.

.

Tetapi kalau kita balik prosesnya, yakni suku sebelumnya dikurangkan dengan suku sebelumnya, akan dihasilkan deret yang berbeda.

.

0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34,.......

.

Hasilnya akan berganti-ganti antara bilangan positif dan negatif.  Hasil yang berbeda ini dikarenakan dalam pengurangan tidak dikenal sifat komutatif atau pertukaran. 

.

But if we reverse the process, i.e. the previous term is subtracted from the next term, we will produce a different series. 

. 

0, 1, -1, 2, -3, 5, -8, 13, -21, 34,....... 

.  

The result will alternate between positive and negative numbers. This different result is because in subtraction does not apply commutative property.

TENTANG a^n + b^n = c^n

TENTANG a^n + b^n = c^n

.

Ivan Taniputera.

4 Agustus 2018.

.

Pada kesempatan kali ini saya ingin membahas persamaan a^n+b^n = c^n, dimana a, b, c, dan n merupakan bilangan bulat. Untuk n lebih besar dibandingkan 2, maka tidak terdapat nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan tersebut. Hal ini disebut Teorema Terakhir Fermat.

.

Untuk membuktikan bagi nilai n lebih besar dibandingkan 2, saya akan menuliskan kembali persamaan di atas menjadi:

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).
.
a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k.
.

dengan k adalah 1, 2, 3, ...........

.

Kini kita perlu mengulas terlebih dahulu mengenai Teorema Phytagoras dan Tigaan Phytagoras (Phytagorean Triple), khususnya Tigaan Phytagoras Primitif (Primitive Phytagorean Triple); yakni tiga bilangan yang memenuhi Teorema Phytagoras, namun tidak mempunyai faktor sama (common factor).

.

Teorema Phytagoras: a^2 + b^2 = c^2.

Contoh Tigaan Phytagoras Primitif adalah 3, 4, dan 5.

3 ^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25.

.

Tigaan Phytagoras dapat dibentuk melalui mengalikan Tigaan Phytagoras Primitif dengan bilangan bulat tertentu yang sama. Sebagai contoh kita ambil 3, 4, dan 5. Kita akan mengalikan masing-masing Tigaan Phytagoras Primitif tersebut dengan 2 dan mendapatkan:

.

6, 8, dan 10.

.

Ketiga angka tersebut merupakan Tigaan Phytagoras berikutnya.

.

6^2 + 8^2 = 10^2.

36 + 64 = 100.

.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan Teorema Phytagoras sebagai:

.

p.a^2 + p.b^2 = p.c^2. Dengan p = 1,2,3,...... dan a, b, serta c merupakan Tigaan Phytagoras Primitif. Jadi, sekali lagi ketiganya harus dikalikan dengan bilangan bulat yang sama. Jika masing-masing dikalikan dengan bilangan bulat yang berbeda, maka persamaan Phytagoras itu tidak akan terpenuhi.

.

Kini kita akan kembali pada persamaan sebelumnya.

.

a^(2+k)+b^(2+k) = c^(2+k).

a^2.a^k + b^2.b^k = c^2.c^k

.

Pada persamaan di atas a^2 dikalikan a^k; b^2 dikalikan dengan b^k; c^2 dikalikan dengan c^k. Agar terdapat nilai a, b, dan c berupa bilangan bulat yang memenuhi teorema Phytagoras, maka: .

.

a^k = b^k = c^k

.

Dengan demikian, yang mungkin adalah a=b=c. Padahal a, b, dan c harus merupakan tiga bilangan bulat berbeda. Itulah sebabnya, kita dapat menyimpulkan bahwa mustahil ada tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan a^n + b^n = c^n untuk n >2.

Teka Teki Matematika: 64=65?

Teka Teki Matematika: 64 = 65?

Ivan Taniputera

29 09 2012

Perhatikan gambar di atas, yang terdiri dari dua segitiga dan dua trapesium yang disusun membentuk persegi dengan luas 64 satuan luas (8 x 8). Namun jika menyusunnya ulang seperti gambar di bawahnya (menjadi persegi panjang), maka luasnya akan menjadi 65 satuan luas (13 x 5). Bagaimana hal itu dapat terjadi? Padahal baik persegi maupun persegi panjang terbentuk dari segitiga dan trapesium yang sama. Silakan dipecahkan.

JAWABAN:

Teka-teki di atas sebenarnya adalah tipuan gambar. Untuk jelasnya silakan perhatikan gambar di bawah ini.

Jawabannya adalah garis AC pada gambar 1 bukanlah garis lurus. Buktinya kita akan menggunakan trigonometri. Sebelumnya kita akan menghitung panjang AC terlebih dahulu. Berdasarkan teorema Phytagoras maka panjang AC adalah akar dari AB kuadrat ditambah BC kuadrat, atau akar 73. Kita bulatkan menjadi 8,54 satuan panjang. Sinus sudut ACB adalah 3/8,54, atau 0,35.

Kita beralih ke gambar 2.  Segitiga CEH seharusnya sebangun dengan Segitiga EDC. Oleh karenanya, Sinus sudut ECD harus sama dengan Cosinus sudut ACB. Kita harus mencari panjang EC terlebih dahulu, yakni 13,93 satuan panjang. Sinusnya adalah 5/13,93 atau 0,36. Jadi karena sinus tidak sama, maka sesungguhnya kedua segitiga itu tidak sebangun. Jadi dapat disimpulkan bahwa sisi miringnya bukan garis lurus.

Bukti lain adalah, jika benar kedua segitiga sebangun, maka berlaku:

AB/DE = BC/CD = AC/CE

.

Ternyata:

AB/DE = 3/5 = 0,6

BC/CD = 8/13 = 0,62

AC/CE = 0.61.

.

Meski perbedaannya kecil, namun kedua segitiga ini bukan sebangun.