MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL

MEMECAHKAN SOAL MATEMATIKA MENGENAI PEMBUKTIAN BAHWA ANGKA HASIL PALING TIDAK DIAKHIRI DENGAN DUA ANGKA NOL.

.

Ivan Taniputera.

17 Mei 2017.

.

Saya menemukan soal sebagai berikut:

.

“ Buktikan bahwa (81^100).(121^100)-1 hasilnya diakhiri paling tidak dengan dua angka 0.”

.

Saya akan memecahkan soal tersebut sebagai berikut.

.

(81^100).(121^100)-1 = ((9^2)^100).((11^2)^100)-1

= 99^200-1

= 99^200-1^200 [Satu dipangkatkan berapa saja tetap 1].

=((99)^2)^100 - ((1)^2)^100)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^a - q^a = (p-q)(p^(a-1) + (p^(a-2).q) + .........)

.

Jadi ((99^2)^100 - ((1^2)^100) = (99^2-1^2).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

p^2-q^2 = (p+q).(p-q)

.

= (99 + 1).(99 - 1).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

= (100).(98).((99^2)^99 + (99^2)^98.1 + ............)

.

Perhatikan bahwa terdapat 100 sebagai faktor. Perkalian dengan 100 paling tidak akan memberikan hasil yang diakhiri dengan dua angka nol.

.

Sebagai tambahan, kita juga dapat menyimpulkan bahwa hasilnya pasti dapat dibagi atau merupakan kelipatan 98.

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA

PENYELESAIAN SOAL-SOAL LOGIKA.

.

Ivan Taniputera.

21 Januari 2017

.

1) Jika nilai semua siswa pulang maka tidak ada pelajaran. Tentukan ingkarannya.

.

Jawaban:

.

Kita akan menggunakan rumus:

.

~(p→q)≡ (p ᴧ ~q)

.

Jadi ingkarannya adalah: semua siswa pulang dan ada pelajaran.

.

2) (∀ a)(a^2+1 < 2)
a E R. 
Tentukan nilai kebenarannya.

.

Dibaca: untuk semua a, maka nilai a kuadrat ditambah satu adalah lebih kecil dibandingkan 2; a adalah anggota bilangan riil. 

.

Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

.

a^2+1 < 2

a^2-1 < 0

(a+1)(a-1) < 0

.

Untuk a< -1 dan a > 1 nilainya akan selalu lebih besar 0 (positif). Sedangkan untuk -1 < a < 1 nilainya akan selalu lebih kecil 0 (negatif). Tidak semua nilainya lebih kecil 0. Jadi tidak semua nilai a kuadrat ditambah 1 akan lebih kecil dibandingkan 2.

.

.

MENENTUKAN NILAI PI BERDASARKAN TEOREMA LIMIT

MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.

.

Ivan Taniputera.

8 Januari 2017

.

.

Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.

.

Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).

Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).

.

Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).

Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).

= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).

.

Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.

limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.

.

Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.

.

.

Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut. 

,

Unuk n = 4, nilainya adalah 4.

n = 5, nilainya adalah 3.63271264

n = 10, nilainya adalah 3.249196962

n = 20, nilainya adalah 3.167688806

n = 50, nilainya adalah 3.145733363

n = 100, nilainya adalah 3.142626604

n = 200, nilainya adalah 3.141851065

n = 500, nilainya adalah 3.141633996

n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655

n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654

.

Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.

.

Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

.

.

Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN

JAWABAN SOAL-SOAL LOGARITMA DAN PECAHAN.

.

Ivan Taniputera.

5 September 2016.

.

.

Jawaban soal nomor 1.

Jika a=0,11111.... dan b=0,33333....., tentukan nilai a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

Kita harus mengubah bentuk pecahan desimal berulang menjadi pecahan biasa.

a=0,11111.....

10a=1,11111....

10a-a = 1,11111.....-0,11111....

9a = 1

a = 1/9.

.

b=0,33333.....

10b=3,33333.....

10b-b = 3,33333.....-0,33333......

9b = 3

b = 1/3

.

1/9 = 3^-2

1/3 = 3^-1

.

Jadi:

a log b = 3^-2 log 3^-1

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 2.

.

Jika a-b = akar (12-2.akar 27), tentukan a log b. Catatan a adalah bilangan basis logaritma.

.

(a-b)^2 = 12-2.akar 27

a^2+b^2-2ab = 12-2.akar 27.

.

Jadi ab = akar 27

a^2+b^2 = 12.

.

Oleh karenanya perlu dicari nilai a dan b yang memenuhi persamaan di atas.

Didapatkan a = akar 9 dan b = akar 3.

.

a = 3 dan b = akar 3 ata 3^(1/2).

.

Jadi a log b = 3 log 3^(1/2).

= 1/2.

.

Jawaban soal nomor 3.

.

Tentukan nilai (3 log^2 (36) - 3 log^2 (4))/3 log (akar 12)). Catatan 3 adalah bilangan basis logaritma.

.

Bentuk 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat dianggap sebagai a^2-b^2.

a^2-b^2 dapat diuraikan menjadi (a+b)(a-b).

.

Jadi 3 log^2 (36) - 3 log^2 (4) dapat diuraikan menjadi (3 log (36)+3 log (4))(3 log (36)-3 log (4)).

.

= (3 log (144))(3 log (9))/3 log (12)^1/2

= (3 log (12)^2)(3 log (3)^2)/ (1/2. (3 log (12))

= (2. (3 log (12)))(2)/(1/2.(3 log (12))

= 2.2.2

= 8

.

Jawaban soal nomor 4.

.

Tentukan nilai x yang memenuhi akar (2x+1) = 1/(4^(x-1)).

.

Kita dapat mengubah persamaan di atas sebagai berikut.

.

(2^(x+1))^1/2 = 2^(-2(x-1))

.

Jadi:

1/2 (x+1) = -2x+2

1/2 x + 1/2 = -2x + 2

1/2 x + 2x = 2-(1/2)

5/2 x = 3/2

x = 3/5.

.

Jawaban soal nomor 5.

.

Sederhanakan log (akar((p-1)/(p+1))+1/2.log (p^2-1).

.

= log ((p-1)/(p+1))^1/2+1/2.log(p^2-1)

=1/2.log ((p-1)/(p+1)) + 1/2.log ((p+1)(p-1))

=1/2.(log ((p-1)/(p+1)).((p+1)(p-1))

p+1 dapat dicoret, sehingga

=1/2.log ((p-1)(p-1))

=1/2.log (p-1)^2

= log (p-1).

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

MENYEDERHANAKAN SOAL PANGKAT PECAHAN

.

Ivan Taniputera.

7 Agustus 2016.

.

Sederhanakan persamaan dengan pangkat pecahan berikut ini:

.

(x^3/2/+x^1/2)(x^1/3-x^-1/3)/(x^1/2+x^-1/2)(x-x^1/3)

.

Pertama-tama akan dipaparkan rumus-rumus yang dipergunakan dalam menyederhanakan persamaan pangkat pecahan di atas.

.

X^a.X^b = X^(a+b)

.

Kita akan menguraikan sebagai berikut:

= (x.x^1/2+x^1/2)(x^1/3-x^1/3.x^-2/3) / (x^1/2+x^1/2.x^-1).(x-x.x^-2/3)

.

Agar tidak bingung, saya akan menjelaskan terlebih dahulu sebagai berikut:

x^3/2 dapat kita uraikan menjadi x.x^1/2; yakni dengan mengacu pada rumus X^a.X^b = X^(a+b).

x.x^1/2; maka a = 1 dan b = 1/2, jadi x^(a+b) = x^3/2.

x^-1/3 dapat kita uraikan menjadi x^1/3.x^-2/3. Ingat bahwa 1/3+(-2/3) = -1/3.

.

Dengan demikian, asal penguraian di atas sudah dijelaskan. Kita dapat melanjutkan dengan langkah berikutnya.

= (x^1/2(x+1))(x^1/3(1-x^-2/3)) / (x^1/2(1+x^-1))(x(1-x^-2/3))

.

Apa yang baru saja kita lakukan adalah adalah mengeluarkan x^1/2, x^1/3, dan x.

.

Faktor-faktor yang sama dapat kita coret, sehingga didapatkan:

.

=(x+1)(x^1/3)/(1+x^-1)x.

.

Kita masih dapat menyederhanakannya menjadi:

.

=x^1/3

.

Perhatikan bahwa 1+x^-1 dapat diubah menjadi (x+1)/x. Lalu x pada bagian penyebut dapat dicoret. (x+1) pada bagian pembilang dan penyebut juga dapat saling dicoret.

.

Untuk menguji apakah jawaban di atas benar atau salah kita akan meminta bantuan software Z-Grapher.

.

Pertama-tama masukkan Y(x) = ((x^(3/2)+x^(1/2))(x^(1/3)-x^(-1/3)))/((x^(1/2)+x^(-1/2))(x-x^(1/3)))

Kedua masukkan Y(x) = x^1/3.

.

Berikut ini adalah hasilnya.

.

.

Ternyata didapatkan hasil yang sama.

.

Kesimpulan: Jawaban sudah benar.

.

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

PERBEDAAN PERMUTASI DAN KOMBINASI

Ivan Taniputera.
24 September 2015

Banyak orag yang masih bingung dalam menerapkan permutasi dan kombinasi. Adapun rumus masing-masing adalah sebagai berikut:

Permutasi

P (n,k) = (n!)/(n-k)!

Kombinasi

C (n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)

Pertama-tama kita bahas contoh penggunaan permutasi terlebih dahulu.

Misalkan ada empat orang anak, sebut saja Andy (A), Benny (B), Clara (C), Doni (D). Di antara keempat anak itu, akan dipilih dua orang masing-masing sebagai ketua (K) dan wakil ketua kelas (W). Kita diminta menentukan ada berapa kemungkinan pasangan ketua kelas beserta wakilnya.

Adapun kemungkinannya sebagai berikut (yang disebutkan pertama adalah K, sedangkan yang disebut belakangan adalah W):

1) A, B
2) B, A
3) A, C
4) C, A
5) A, D
6) D, A
7) B, C
8) C, B
9) B, D
10) D, B
11) C, D
12, D, C

Nampak bahwa terdapat 12 kemungkinan. Dalam hal ini A sebagai ketua dan B sebagai wakil berbeda dengan B sebagai ketua dan A sebagai wakil. Oleh karenanya, pada contoh ini, urutan adalah sesuatu yang penting. Anggota sama tetapi urutan berbeda dianggap berbeda (A, B beda dengan B, A).

Dalam kasus ini kita harus menggunakan PERMUTASI.

P(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k = 2

P(4,2) = (4!)/(4-2)!
= 12

Kini kita beralih pada Kombinasi. Contoh kasusnya adalah sebagai berikut. Anda diberi 4 buah soal, sebut saja A, B, C, dan D. Anda diminta memilih dan mengerjakan 2 soal saja. Adapun kemungkinannya adalah:

1) A, B
2) A, C
3) A, D
4) B, C
5) B, D
6) C, D

Semua terdapat 6 kemungkinan. Dalam hal ini, urutan tidak penting. Anda mengerjakan soal A dahulu baru B atau B dahulu baru A adalah sama. Jika kedua soal itu Anda kerjakan dengan benar, maka tidak peduli bagaimana pun urutan Anda mengerjakannya, Anda mendapatkan nilai yang sama.

Guna menyelesaikan soal-soal seperti ini, Anda harus menggunakan KOMBINASI.

C(n,k) dengan n = jumlah keseluruhan pilihan, k = jumlah yang diambil dari keseluruhan pilihan tersebut.

Dalam kasus kita, n = 4 dan k =2

C(4,2) = (4!)/(2!(4-2)!)
=6

Mudah bukan?

BELAJAR TEOREMA SISA SUKU BANYAK DENGAN MUDAH

BELAJAR TEOREMA SISA SUKU BANYAK DENGAN MUDAH

Ivan Taniputera

2 April 2015

Teorema sisa suku banyak sebenarnya tidak sulit. Prinsipnya sama dengan konsep pembagian yang pernah kita pelajari sewaktu duduk di bangku sekolah dasar (sd). Sebagai contoh kita ambil 7 dibagi 2.

7 : 2 = 3 sisa 1

3 disebut hasil bagi

1 disebut sisa hasil bagi atau sisa.

Dengan demikian kita boleh juga menuliskan: 

7 = 2 x 3 + 1

Begitu pula dengan teorema sisa pembagian suku banyak, konsepnya juga sama.

Sebagai contoh kita hendak membagi sebuah suku banyak f(x), dbagi dengan g(x). misalkan H(x) adalah hasil bagi suku banyak, sedangkan S(x) adalah sisa pembagian suku banyak.

f(x) : g(x) = H(x) + S(x).

Dengan demikian kita boleh pula menuliskan:

f(x) = g(x).H(x) + S(x).

Selanjutnya, Mari kita perhatikan pembagian dengan g(x) = (ax-b) berikut ini.

Sebuah suku banyak f(x) hendak dibagi dengan g(x) = (ax-b). Berapakan sisanya?

Pertama-tama kita akan perlu mencari akar g(x), yakni sebuah nilai x yang dapat menjadikan g(x) bernilai sama dengan 0.

Akar g(x) dapat dicari sebagai berikut.

g(x) = 0

ax-b = 0

x = b/a

Sisa pembagian dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai x = b/a pada f(x). Jadi f(b/a) = S(b/a). 

Penjelasannya sebagai berikut.

f(b/a) = g(b/a).H(b/a) + S(b/a)

Ingat bahwa g(b/a) = 0

Jadi:

f(b/a) = 0 + S(b/a)

f(b/a) = S(b/a)

Sangat mudah bukan?

CONTOH SOAL:

f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 dibagi dengan g(x) = x-2. Berapakan sisanya?

Jawab:

g(x) = 0

x-2 = 0

x = 2

Sisanya adalah:

S(2) = f(2)

S(2) = 2^3 + 2.(2)^2 - 2 + 1

S(2) = 8 + 8 - 2 + 1

S(2) = 15

SOAL-SOAL TRIGONOMETRI BESERTA JAWABANNYA

SOAL-SOAL TRIGONOMETRI BESERTA JAWABANNYA

Ivan Taniputera

21 Februari 2015

1.      Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 =

JAWABAN:

Cos 300 = Cos (360-60)

Cos 300 = Cos 60

Cos 300 = 1/2

Sin 300 = Sin (360-60)

Sin 300 = -Sin 60

Sin 300 = -1/2V3

Jadi:

Sin 60 Cos 300 + Cos 60 Sin 300 = 1/2V3.1/2 + 1/2.(-1/2V3)

 = 1/4V3 - 1/4V3

= 0

2.      (Cos 30 Sin 45 + tan 60 cos 30)/Sec60

JAWABAN:

= (1/2V3.1/2 V2 + v3.1/2V3)/2

= (1/4V6 + 3/2)/2

=((V6+6)/4)/2

= (V6+6)/8

  

3.      Sin(180+a)/Sin(90-a)=

JAWABAN:

Sin (180+a) = -Sin a Karena  kelipatan genap di kuadran  III, sinus adalah minus

Sin (90-a) = Cos a karena kelipatan ganjil di kuadran I, dimana semuaadalah plus.

Jadi:

Sin(180+a)/Sin(90-a)= -Sin a/Cos a

= -Tg a

Ingat Tg a = Sin a/Cos a

4.      -Sin 60 - Cos 30 - Tan 60=

JAWABAN:

= -1/2V3 - 1/2V3-V3

= (-V3-V3-2V3)/2

=(-4V3)/2

= - 2V3

 

5.      (Cos 135.Tan 135)/(Cos 225.Sin 150)=

JAWABAN:

Cos 135 = Cos (90+45)

= -Sin 45 (kelipatan ganjil dan terletak di Kuadran II)

= -1/2V2

Tan 135 = Tan (90+45)

= -Cotg 45 (kelipatan ganjil dan terletak di Kuadran II)

=-1

Cos 225 = Cos (180+45)

=-Cos 45 (kelipatan genap dan terletak di kuadran III)

=-1/2V2

Sin 150 = Sin (180-30)

=Sin 30 (kelipatan genap dan terletak di kuadran II)

=1/2

Jadi (Cos 135.Tan 135)/(Cos225.Sin 150) = (-1/2V2)(-1)/(-1/2V2)(1/2)

=(-1)/(1/2)

=-2

  

6.      (Sin pi/2 + Cos 2pi-3cos pi/3)/(Cospi + Tan 3/4 pi) =

JAWABAN:

(Sin pi/2 + Cos 2pi-3cos pi/3)/(Cos pi + Tan 3/4 pi) = (Sin 90 + cos 180+ 3Cos 60)/(Cos 180+Tan 135)

(Sin 90 + cos 360 + 3Cos 60)/(Cos 180+Tan 135)= (1+1+3/2)/(-1+(-1))

=(7/2)/(-2)

=-7/4

Bimbingan belajar untuk kota Semarang silakan kunjungi:

https://www.facebook.com/groups/539848279458850/

SOAL GARIS BAGI PADA SEGITIGA

SOAL GARIS BAGI PADA SEGITIGA

Ivan Taniputera
17 Oktober 2014

Sebuah segitiga ABC, mempunyai panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm. Sudut BAC besarnya 60 derajat. AD merupakan garis bagi pada sudut ABC. Ditanyakan panjang AD.

Garis Bagi = garis yang membagi suatu sudut menjadi dua sudut sama besar.

Jawaban:

Kita mencoba mencari panjang BC terlebih dahulu:

BC^2= AC^2+AB^2-2AC.AB.cos 60.
BC^2= 9 + 16 -2.3.4.1/2
BC^2= 13
BC=V13 cm

Berikut ini adalah rumus-rumus dalam mencari garis bagi:

Jadi BD = 4xV13/7 = 4/7 V13 cm
CD = 3xV13/7 = 3/7 V13 cm

Maka AD^2 = 3x4 - 4/7V13.3/7/V13

= V8.82 cm.
= 2.96 cm.

Berikut ini adalah gambarnya berdasarkan skala:

PROGRAM LINIER: SOAL DAN PEMECAHANNYA

PROGRAM LINIER: SOAL DAN PEMECAHANNYA

Ivan Taniputera

3 Oktober 2014

1. Sebuah pabrik membutuhkan bahan pembersih jenis I, II, dan III untuk membersihkan mesin-mesinnya. Kebutuhan setiap bulannya adalah minimal 10 liter bahan pembersih jenis I, 12 liter bahan pembersih jenis II, dan 12 liter bahan pembersih jenis III. Bahan pembersih ini lalu diolah menjadi dua jenis sabun, yakni sabun untuk lantai dan sabun untuk mesin. Sabun untuk lantai memerlukan 5 liter bahan pembersih jenis I, 2 liter bahan pembersih jenis II, dan 1 liter bahan pemberish jenis III. Sabun untuk mesin terdiri dari 1 liter bahan pembersih jenis I, 2 liter bahan pembersih jenis II, dan 4 liter bahan pembersih jenis III. Apabila biaya pembuatan setiap unit sabun untuk lantai adalah Rp. 45.000,- dan biaya pembuatan sabun untuk mesin adalah Rp.40.000 setiap unitnya. Berapa banyak masing-masing sabun hendaknya dibuat agar biayanya seminimal mungkin?

JAWABAN:

Kita misalnya jumlah unit sabun lantai sebagai x dan jumlah unit sabun mesin sebagai y.

• Jumlah unit sabun lantai = x
• Jumlah unit sabun mesin = y

Jadi:

Bagi bahan pembersih jenis I berlaku:

5x + y >= 10

Bagi bahan pembersih jenis II berlaku:

2x + 2y >= 12

Bagi bahan pembersih jenis III berlaku:

x + 4y >= 12

x>0
y>0

Z = 45.000x+40.000y

Kita kemudian membuat grafiknya.

Untuk 5x+y = 10

x=0, y=10
x=2, y=0

Untuk 2x+2y=12

x=0, y=5
x=5, y=0

Untuk x+4y=12

x=0, y=3
x=12, y=0

Cari juga titik-titik potong yang diperlukan.



Lalu masukkan titik-titik uji pada Z = 45.000x+40.000y

x=10, y=0

Z=Rp. 450.000,-

x=1, y=5

Z=Rp 245.000,-

x=4, y=2

Z= Rp.260.000,-

x=12, y=0

Z= Rp. 540.000,-

Oleh karena itu, agar biayanya minim, maka perlu dibuat sabun lantai sebanyak 1 unit dan sabun mesin sebanyak 5 unit.

2. Seorang tukang kue mendapatkan pesanan dua jenis kue.

Kue jenis pertama memerlukan  2 kg keju dan 1 kg coklat.
Kue jenis kedua memerlukan 1 kg keju dan 2 kg coklat.

Persediaan yang dimiliki tukang kue itu adalah 4 kg keju dan 5 kg coklat.

Kue jenis pertama dapat dijual dengan harga Rp. 500.000,-
Kue jenis kedua dapat dijual dengan harga Rp.400.000,-

Tentukan berapa banyak kue jenis pertama dan kue jenis kedua hendaknya dibuat agar tukang kue tersebut mendapatkan penghasilan maksimal.

JAWABAN:

Misalkan:

• Jumlah kue jenis pertama adalah x
• Jumlah kue jenis kedua adalay y

Jadi:

2x+yx+2y
x>=0
y>=0

Z=500.000x+400.000y

Kita membuat grafiknya

Untuk 2x+y=4

x=0, y=4
x=2, y=0

Untuk x+2y=5

x=0, y=2;5
x=5, y =0



Cari juga titik potong yang diperlukan.

Lalu masukkan titik-titik uji pada Z = 500.000x+400.000y

x=0, y=2,5

Z=Rp.1.000.000,-

x=1, y=2

Z=Rp 1.300.000,-

x=2, y=0

Z=Rp 1.000.000,-

Jadi agar pendapatannya maksimal, tukang kue harus membuat 1 kue jenis pertama dan 2 kue jenis kedua.

Bimbingan belajar untuk kota Semarang.

SOAL-SOAL MATEMATIKA SUKU BANYAK DAN PEMECAHANNYA

SOAL-SOAL MATEMATIKA SUKU BANYAK DAN PEMECAHANNYA

Ivan Taniputera
3 September 2014

1. Sebuah persamaan suku banyak f(x) = 4x³-x²+kx+2.5 habis dibagi dengan (2x+3), tentukan nilai k.

JAWABAN:


f(x) habis dibagi dengan (2x+3), sehingga kita boleh menuliskan:


4x³-x²+kx+2.5 = (2x+3).P(x)

2x+3 = 0
x = -3/2

Karena habis dibagi, maka f (x=-3/2) = 0

f(x = -3/2) = 4 (-3/2)³-(-3/2)²+k(-3/2)+5/2= 0

0 = 4(-27/8)-(9/4)-3/2.k+5/2
0 = -27/2-9/4+5/2-3/2.k
0 = -54/2-9/4+10/4-3/2k
3/2 k = -53/4
k = -53/4. 2/3
k = -53/6

2.   Jika (x-2) merupakan faktor bagi suku banyak f(x) = 2x³+ax²+7x+6, maka tentukanlah a.

JAWABAN:

(x-2) merupakan faktor f(x), sehingga kita boleh menuliskan:

2x³+ax+7x+6 = (x-2).P(x)

x-2 = 0, maka x = 2

Karena merupakan salah satu faktor f(x=2) = 0

f(x=2) = 2.2³+ 4.a + 14 +6 = 0

0 = 16 + 4a +20
-4a = 36
a= -9

3.    Suku banyak f(x) = 2x³+ax²-bx+3, jika dibagi (x²-4) bersisa (x+23), tentukan a dan b.

JAWABAN:

Faktorkan dulu x²-4, sehingga menjadi (x+2)(x-2)

Kita boleh menuliskan:

2x³+ax²-bx+3= (x+2)(x-2).P(x) + (x+23)

Oleh karenanya

f(x=2) = (2+2)(2-2).P(x) +25
f(x=2) = 0 + 25
f(x=2) = 25

f(x=-2) = 0 + 21
f(x=-2) = 21

f(x=2) = 2.8+4a-2b+3
25 = 16+4a-2b+3
25 = 19+4a-2b
6 = 4a-2b......Persamaan pertama

f(x=-2) = 2(-8)+4a+2b+3
21 = -16+4a+2b
21 = -13 +4a+2b
34 = 4a+2b......Persamaan kedua

Gunakan metoda eliminasi.

6 = 4a-2b
34 = 4a+2b
----------------+
40 = 8a
a=5
b=7


4. Suku banyak f(x) = 2 x³ + ax² + bx+6 mempunyai h(x) = x²+x-6 sebagai faktor. Tentukan a dan b.


JAWABAN:


Faktorkan dulu h(x) = x²+x-6, menjadi (x+3)(x-2).

Kita dapat menuliskan:

2 x³ + ax²+ bx+6 = (x+3)(x-2).P(x)

Karena merupakan faktor,maka:

f(x=-3) = 0 dan f(x=2)=0

f(x=-3) = 2 (-3)³+ 9.a - 3.b + 6
0 = -54 + 9.a - 3.b + 6
0 = -48 +9a-3b
48 = 9a-3b........Persamaan pertama

f(x=2) = 2 (2)³ +4.a + 2.b + 6
0 = 16 + 4a+2b+6
-22 = 4a+2b......Persamaan kedua

Kita gunakan metoda eliminasi:

(48=9a-3b)x2
(-22=4a+2b)x3

96 = 18a-6b
-66= 12a+6b
----------------+
30 = 30a
a= 1
b=-13


5. Sebuah persamaan suku banyak f(x) jika dibagi dengan (x-2), maka sisanya adalah 8,tetapi jika dibagi dengan (x+3) sisanya adalah -7. Tentukanlah sisanya apabila dibagi dengan x²+x-6

JAWABAN:

Kita boleh menuliskan:

f(x=2) = 8
f(x=-3) = -7

Misalkan bahwa sisa pembagian dengan x²+x-6 adalah px+q

Kita boleh menuliskan:

f(x) = x²+x-6.P(x)+ (px+q)

f(x=2) = 0 + 2p+q
8 = 2p+q...............persamaan pertama

f(x=-3) = 0 + -3p+q
-7 = -3p+q............Persamaan kedua

Kita gunakan metoda eliminasi

8 = 2p+q
-7= -3p+q
---------------- -
15 = 5p
p =3
q=2

Jadi sisanya adalah 3x+2

6. Sebuah persamaan suku banyak f(x) jika dibagi dengan (x+1), maka sisanya adalah -2.Jika dibagi dengan (x-3) sisanya adalah 7.Sebuah persamaan suku banyak g(x) jika dibagi dengan (x+1), maka sisanya adalah 3. Jika dibagi dengan (x-3),maka sisanya adalah 2.
Suku banyak h(x) =f(x).g(x).
Tentukan sisanya jika h(x) dibagi dengan x²-2x-3.

JAWABAN:

Kita dapat menuliskan:

f(x=-1) = -2
f(x=3) = 7

g(x=-1) = 3
g(x=3) = 2

Karena h(x) = f(x).g(x), maka berlaku:
h(-1) = f(x=-1).g(x=-1)
         = -6
h(3) = f(x-3).g(x=3)
         = 14


Misalkan bahwa sisanya adalah px+q

h(x) = f(x).g(x) = x²-2x-3.P(x)+(px+q)

h(x=-1) = -p+q
-6 = -p+q .................persamaan pertama

h(x=3) = 3p+q
14 = 3p+q.................persamaan kedua

Kita gunakan metoda eliminasi

-6 = -p+q
14 = 3p +q
--------------- -
-20 = -4p
p = 5
q = -1

Jadi sisanya adalah 5x-1

7. Sebuah persamaan suku banyak f(x) akan bersisa 24 jika dibagi dengan (x-2) dan bersisa 20 jika dibagi dengan (2x-3). Tentukanlah sisanya jika dibagi dengan (x-2).(2x-3).

JAWABAN:

Kita boleh menuliskan:

f(x=2) = 24
f(x=3/2) = 20

Misalkan bahwa sisanya adalah px+q

f(x) = (x-2)(x+3).P(x) +(px+q)

f(x=2) = 0 +2p+q
24 = 2p+q

f(x=3/2) = 0 + 3/2p+q
20 = 3/2p+q

Kita gunakan metoda eliminasi
Didapatkan p = 8 dan q = 8

Jadi sisanya adalah 8x + 8


Bimbingan belajar kota Semarang, silakan hubungi: