SOAL MATEMATIKA: PERSAMAAN LINGKARAN MENYINGGUNG GRAFIK Y = 1/X
.
Ivan Taniputera.
10 Agustus 2021
.
Soal:
Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung grafik y = 1/x dan sumbu x beserta sumbu y, pada daerah x > 0 serta y > 0.
.
JAWABAN:
.
Untuk menjawab soal di atas, kita akan membuat terlebih dahulu sketsa sebagai berikut.
.
.
Selanjutnya, kita perlu menentukan titik potong antara lingkaran dengan grafik y = 1/x. Kita akan menarik garis bantu y = x, seperti gambar di bawah ini.
.
.
Nampak bahwa titik singgung antara lingkaran dengan grafik y = 1/x adalah juga titik potong antara garis y = x dengan grafik y = 1/x. Kita dapat mencari titik potong tersebut dengan cara sebagai berikut.
.
x = 1/x
x^2 = 1
x = 1.
Substitusikan nilai x = 1 pada y = 1/x.
y = 1/1.
y = 1.
Dengan demikian, koordinat titik potong atau titik singgung itu adalah (1.1).
.
Setelah menemukan koordinat titik singgung antara lingkaran dengan grafik y = 1/x, kita akan melanjutkan dengan sketsa sebagai berikut.
.
Kita misalkan bahwa koodinat titik pusat lingkaran itu adalah (x,y). Jari-jari lingkaran adalah r. Berdasarkan sketsa di atas, kita mengetahui bahwa x = y = r.
.
Nilai r adalah jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik singgung (1,1). Dengan menggunakan rumus jarak dua titik yang diketahui koordinatnya kita dapat menghitung sebagai berikut:
.
(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2.
Karena x = y = r, maka
(r-1)^2 + (r-1)^2 = r^2.
2(r-1)^2 = r^2.
2(r^2-2r+1) = r^2.
2r^2-4r+1 = r^2.
r^2-4r+1 = 0.
.
Kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat. Nilai r dapat dicari dengan Rumus ABC.
.
Ternyata kita mendapatkan dua nilai r, yakni:
.
r1 = 0,5858.
r2 = 3,4142.
.
Ini berarti bahwa terdapat dua persamaan lingkaran yang memenuhi ketentuan di atas. Kita akan memasukkannya pada persamaan lingkaran berpusat (a,b); yakni (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
.
Jika r1 = 0,5858, maka karena x = y = r, x = 0,5858 dan y = 0,5858. Koordinat titik pusatnya adalah (0,5858, 0,5858). Jika kita terapkan dalam persamaan lingkatan berpusat (a,b), maka a = 0,5858 dan b-0,5858. Kita dapatkan persamaan lingkaran sebagai berikut:
.
(x-0,5858)^+(y-0,5858)^2 = (0,5858)^2.
(x-0,5858)^2+(y-0,5858)^2 = 0,3431.
.
Jika r2 = 3,4142, maka karena x = y = r, x = 3,4142 dan y = 3,4142. Koordinat titik pusatnya adalah (3,4142, 3,4142). Jika kita terapkan dalam persamaan lingkatan berpusat (a,b), maka a = 3,4142 dan b-3,4142. Kita dapatkan persamaan lingkaran sebagai berikut:
.
(x-3,4142)^+(y-3,4142)^2 = (3,4142)^2.
(x-3,4142)^2+(y-3,4142)^2 = 11,6568.
.
Kita akan menggambar kedua lingkaran dengan menggunakan piranti lunak daring DESMOS. Berikut ini adalah hasilnya.
.
