MEMECAHKAN MISTERI BILANGAN KELIPATAN TIGA
Ivan Taniputera
6 September 2013
Sewaktu
masih duduk di bangku Sekolah Dasar, saya diajarkan bahwa ciri khas
bilangan kelipatan tiga adalah jika masing-masing angka digitnya
dijumlahkan, maka hasilnya juga akan merupakan kelipatan tiga.
Sebagai
contoh adalah apakah 171 merupakan kelipatan tiga? Mari kita jumlahnya
angka-angka digitnya: 1+7+1 dan hasilnya adalah 9. Sembilan adalah
kelipatan 3, jadi 171 merupakan kelipatan tiga. Memang benar bahwa 171 =
3 x 57. Apakah 671 kelipatan tiga? Mari kita jumlahkan digit-digitnya.
6+7+1 = 14, karena 14 bukan kelipatan 3, maka 671 bukan kelipatan tiga.
Namun
karena masih duduk di bangku Sekolah Dasar, tentu saja saya belum
diajarkan latar belakang atau bukti matematis bagi perhitungan tersebut.
Meskipun
demikian, saya tergerak mencoba mencari bukti matematisnya, mengapa
bilangan jika jumlah digitnya merupakan kelipatan tiga, maka bilangan
itu juga kelipatan tiga. Tentu harus ada bukti matematis yang
melatar-belakangi hal ini. Saya coba melakukan analisa matematis sebagai
berikut.
Misalkan terdapat bilangan .....edcba,
dengan a, b, c, d, e, dst.. merupakan digit-digit angka tersebut. Jadi a
merupakan satuan, b merupakan puluhan, c merupakan ratusan, d merupakan
ribuan, e merupakan puluhan ribu, dan seterusnya.
Dengan
demikian jumlah digit-digitnya adalah a + b + c + d + e +......, yang
kita misalkan merupakan kelipatan 3. Kita dapat menuliskannya sebagai
berikut: a + b + c + d + e +...... = 3N. Dengan N adalah sembarang
bilangan bulat bukan nol. Ini kita sebut persamaan pertama.
.... edcba dapat kita tulis sebagai a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e. Ini kita sebut persamaan kedua.
Kini tugas kita adalah menghubungkan persamaan pertama dan kedua.
a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = (a + b + c + d + e +......) + (9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....)
a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 9.b + 99.c + 999.d + 9999.e + .....
a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +...... = 3N + 3*3.b + 3*33.c + 3*333.d + 3*3333.e +........
a + 10.b + 100.c + 1000.d + 10.000.e +......= 3 (N + 3.b + 33.c + 333.d + 3333.e + ...........)
Dengan
demikian, perhitungan di atas membuktikan bahwa selama hasil
penjumlahan angka-angka digit sebuah bilangan merupakan kelipatan tiga,
maka bilangan itu juga pasti akan merupakan kelipatan tiga. Dengan
demikian terbukti sudah.
Matematika sungguh menyenangkan.
