BERAPAKAH JUMLAH ANGKA NOL DI BELAKANG 2017! (FAKTORIAL)?
.
Ivan Taniputera.
15 Mei 2017.
.
Pada kesempatan kali ini kita akan memecahkan soal berapakah jumlah angka 0 di belakang 2017!. Adapun yang dimaksud dengan 2017! adalah 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x.........x 2015 x 2016 x 2017. Tentu saja ini akan menghasilkan sebuah bilangan yang sangat besar. Menghitung secara manual akan menghabiskan terlalu banyak waktu. Oleh karenanya, kita akan menerapkan metoda yang efisien dalam memecahkan soal tersebut.
.
Pertama-tama kita perlu memahami bagaimana jumlah angka 0 bertambah pada hasil setiap faktorial. Pertambahan angka 0 diperoleh dari setiap perkalian antara 2 x 5 dalam proses perhitungan hasil faktorial. Namun karena kelipatan 5 lebih sedikit dibandingkan kelipatan 2, maka kita cukup menghitung ada berapa total perpangkatan faktor lima pada 2017!. Dalam bahasa sederhana total angka perpangkatan faktor 5 kita sebut sebagai jumlah”kemunculan” angka 5. Jumlah kemunculan angka 5 ini identik dengan jumlah angka 0 di belakang hasil faktorial sebuah bilangan.
.
Agar jelasnya, silakan perhatikan contoh sebagai berikut.
.
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.
.
.
Kita cari bilangan yang merupakan kelipatan 5, yakni 5 dan 10.
Sepuluh jika difaktorkan adalah 2 x 5. Jadi, kita boleh menuliskan sebagai berikut:
,
,
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x (2x5).
10! = (5^2) x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9.
,
,
Total perpangkatan angka 5 adalah 2. Dalam bahasa sederhananya kita sebut pada 10!, angka 5 “muncul” dua kali. Oleh karenanya kita boleh menyimpulkan bahwa 10! hasilnya akan diakhiri oleh dua angka nol. Ternyata hasilnya adalah 3628800. Jadi benar bahwa di belakangnya diikuti oleh dua angka nol.
.
Sebagai contoh berikutnya kita akan menghitung 30!.
.
30! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x.........x 28 x 29 x 30.
.
Kita cukup memperhatikan bilangan kelipatan lima saja; yakni:
.
.
5, 10, 15, 20, 25, dan 30.
.
5 = 1 x 5
10 = 2 x 5
15 = 3 x 5
20 = 4 x 5
25 = 5^2
30 = 5 x 6
.
Kita boleh menuliskan: 30! = (5^7) x 2x 3 x 4 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x.........29
Jadi secara total angka 5 “muncul” 7 kali. Oleh karenanya, 30! akan diikuti oleh tujuh angka 0. Ternyata hasilnya adalah 265252859812191058636308480000000. Jadi, memang benar hasilnya diikuti oleh tujuh angka 0.
.
Kini kita akan menerapkan metoda di atas pada 2017!.
.
Bilangan yang mempunyai faktor lima atau kelipatan lima ini dapat kita rumuskan menjadi:
.
(5^n).x.
Contoh 75 = 5^2 x 3 (n=2 dan x=3) atau 100 = 5^2 x 4 (n=2 dan x = 4)
.
Dengan x dan n merupakan anggota bilangan bulat dan x bukan kelipatan 5.
Jadi n ini bisa 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya. Sedangkan x bisa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, dan seterusnya.
.
Pertama-tama kita akan mencari berapa nilai n tertinggi yang mungkin.
kita misalkan x = 1 terlebih dahulu.
.
5^2 = 25
5^3 = 125
5^4 = 625
5^5 = 3125 (tidak memenuhi, karena lebih besar dibandingkan 2017).
.
Nilai n terbesar yang mungkin adalah 4.
.
.
Untuk nilai n = 4, nilai x terbesar yang mungkin adalah 3; dengan 5^4 x 3 = 1875. Jika x = 4, maka nilainya akan menjadi 2500, dimana ini tidak berlaku karena lebih besar dibandingkan 2017. Kini untuk n = 4, kita akan menghitung berapa jumlah bilangan kelipatan lima yang mungkin. Untuk n = 4, maka nilai x yang mungkin adalah 1, 2 dan 3. Jadi dalam hal ini ada 3 bilangan kelipatan 5 dengan n = 4.
.
Kini kita akan menghitung untuk n = 3.
.
.
Untuk n = 3, nilai x terbesar yang mungkin adalah 16. Jadi, nilai x yang mungkin adalah 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16; yakni sejumlah 13. Terdapat 13 bilangan kelipatan 5 dengan n = 3.
.
.
Kita akan menghitung untuk n = 2.
.
.
Untuk n = 2, nilai x terbesar yang mungkin adalah 79. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 64 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 79 telah dibuang). Jadi terdapat 64 bilangan kelipatan 5 dengan n = 2.
.
Kita akan menghitung untuk n = 1
.
.
Untuk n = 1, nilai x terbesar yang mungkin adalah 403. Jumlah nilai x yang mungkin adalah 323 bilangan (semua bilangan kelipatan lima dari 1 hingga 403 telah dibuang). Jadi terdapat 323 bilangan kelipatan 5 dengan n = 1
Kini kita akan menghitung berapa kali secara keseluruhan faktor 5 dipangkatkan.
.
- Untuk n = 4 terdapat 3 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 12 (5^12).
- Untuk n = 3 terdapat 13 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 39 (5^39).
- Untuk n = 2 terdapat 64 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 128 (5^128).
- Untuk n = 1 terdapat 323 bilangan. Jadi secara total 5 dipangkatkan 323 (5^323).
.
Kini tinggal kita jumlahkan berapa keseluruhan “kemunculan” bilangan lima bagi n = 1 hingga 4. Hasilnya adalah: 12 + 39 + 128 + 323 = 502.
.
Karenanya kita boleh menuliskan:
.
.
2017! = (5^502) x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 x 12 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 x 21 x......x 2017.
.
.
Dengan demikian 2017! akan menghasilkan bilangan yang diikuti oleh 502 angka 0. Kita sudah memecahkan soal ini. Apabila menggunakan cara manual, kemungkinan Anda akan menghabiskan waktu bertahun-tahun! Bayangkan suatu bilangan yang sangat besar dengan diikuti oleh 502 angka 0!
