MENENTUKAN NILAI PI PERDASARKAN TEOREMA LIMIT.
.
Ivan Taniputera.
8 Januari 2017
.
.
Misalkan kita mempunyai segi-n beraturan yang terbagi menjadi segitiga-segitiga sejumlah n. Tinggi masing-masing segitiga itu kita misalkan T. Jari-jari segi-n beraturan itu kita beri nama R. Sudut segitiga yang berimpit dengan titik pusat segi-n beraturan adalah 360 derajat/n; yakni sudut satu lingkaran penuh dibagi dengan jumlah n-segi.
.
Kita dapat menyimpulkan bahwa T = R.Cos (180 derajat/n).
Alas segitiga = 2. R.Sin (180 derajat/ n).
.
Keliling segi-n beraturan itu akan menjadi 2.n.R.Sin (180 derajat/ n); yakni panjang alas masing-masing segitiga dikalikan dengan jumlah segi (n).
Perbandingan antara keliling segi-n beraturan dan 2T = 2.n.R.Sin (180 derajat/n)/2.R.Cos (180 derajat/n).
= n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n).
.
Apabila nilai n semakin besar, maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran. Jika n = tak hingga, maka segi-n beraturan itu akan menjadi lingkaran. Keliling segi-n beraturan akan menjadi keliling lingkaran. Dua kali tinggi segitiga akan menjadi garis tengah atau diameter lingkaran. Oleh karena, perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran adalah PI; maka kita dapat menyimpulkan.
limit n-->tak hingga bagi n.Sin (180 derajat/n)/Cos (180 derajat/n) adalah PI.
.
Untuk jelasnya silakan saksikan gambar berikut ini.
.
.
Kita dapat mencoba memasukkan rumus diatas pada program Excel. Akan didapatkan hasil sebagai berikut.
,
Unuk n = 4, nilainya adalah 4.
n = 5, nilainya adalah 3.63271264
n = 10, nilainya adalah 3.249196962
n = 20, nilainya adalah 3.167688806
n = 50, nilainya adalah 3.145733363
n = 100, nilainya adalah 3.142626604
n = 200, nilainya adalah 3.141851065
n = 500, nilainya adalah 3.141633996
n = 100.000, nilainya adalah 3.141592655
n = 1.000.000, nilainya adalah 3.141592654
.
Jadi jelas sekali, semakin besar nilai n, maka nilainya akan makin mendekati PI. Saat n tak hingga, maka nilainya adalah PI itu sendiri.
.
Jika kita menggunakan software matematika ZGrapher, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
.
.
Demikianlah kita telah berupaya menentukan nilai PI dengan bantuan teorema limit.
